Trigonometrie-Rechner

Berechnen Sie sin, cos, tan und inverse Trigonometriefunktionen in Grad oder Radiant. Mit einer Tabelle für Winkel. Kostenloser Online-Trigonometrierechner für Schüler.

Anleitung

  1. Funktion wählen

    Wählen Sie die gewünschte trigonometrische Funktion (sin, cos, tan oder Umkehrfunktion).

  2. Winkel oder Wert eingeben

    Geben Sie den Winkel in Grad oder Radiant ein, oder den Funktionswert für Umkehrfunktionen.

  3. Ergebnis ablesen

    Sehen Sie den berechneten Wert und eine grafische Darstellung.

Was ist Trigonometrie?

Trigonometrische Funktionen drücken die Verhältnisse zweier Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks als Funktion eines Winkels aus. Für einen Bezugswinkel θ sind sin (Gegenkathete ÷ Hypotenuse), cos (Ankathete ÷ Hypotenuse) und tan (Gegenkathete ÷ Ankathete) die Grundfunktionen; zusammen mit ihren Kehrwerten csc, sec, cot gibt es insgesamt sechs Funktionen.

Warum sie wichtig ist

Trigonometrie geht weit über das Lösen von Dreiecken hinaus: Sie beschreibt alle periodisch wiederkehrenden Phänomene wie Rotation, Schwingung und Wellen. Deshalb wird sie so vielfältig eingesetzt, etwa bei der harmonischen Schwingung und beim Wechselstrom in der Physik, in der Signalverarbeitung in der Technik, bei der Koordinatendrehung in der Computergrafik und bei Steigungsberechnungen in der Architektur.

  • Die Werte bei 0°, 30°, 45°, 60° und 90° kommen ständig vor, daher ist es nützlich, sie auswendig zu kennen.
  • Geben Sie den Winkel einmal ein, und dieser Rechner gibt alle sechs Funktionswerte zusammen mit Grad und Bogenmaß aus, sodass Sie keine Tabelle durchsuchen müssen.

Berechnungsformel

Der eingegebene Winkel wird zunächst ins Bogenmaß umgerechnet, danach wird jeder Funktionswert bestimmt.

Bogenmaß = Grad × π / 180

sin θ, cos θ, tan θ = sin θ / cos θ

csc θ = 1/sin θ, sec θ = 1/cos θ, cot θ = 1/tan θ

Beispiel: Eingabe von 30°

Bogenmaß = 30 × 3,14159 / 180 = 0,5236, sin 30° = 0,5, cos 30° ≈ 0,8660, tan 30° = 0,5 / 0,8660 ≈ 0,5774, csc 30° = 2, sec 30° ≈ 1,1547 und cot 30° ≈ 1,7321.

θ ist der Bezugswinkel, und wo cos θ = 0 ist, etwa bei 90° und 270°, werden tan und sec als 'nicht definiert' angezeigt.

Häufig gestellte Fragen

Was ist Trigonometrie?
Trigonometrische Funktionen werden über die Seitenverhältnisse eines rechtwinkligen Dreiecks definiert. sin (Sinus) ist Gegenkathete/Hypotenuse, cos (Cosinus) ist Ankathete/Hypotenuse und tan (Tangens) ist Gegenkathete/Ankathete. Diese drei und ihre Kehrwerte csc, sec und cot ergeben insgesamt sechs trigonometrische Funktionen.
Wie rechne ich zwischen Grad und Bogenmaß um?
Um Grad in Bogenmaß umzurechnen, multiplizieren Sie mit π/180; um Bogenmaß in Grad umzurechnen, multiplizieren Sie mit 180/π. Eine volle Umdrehung ist 360° = 2π Bogenmaß, und 1 Radiant ≈ 57,2958°. Zum Beispiel ist 90° = π/2 Bogenmaß.
Welche Beziehung besteht zwischen sin, cos und tan?
tan(θ) = sin(θ)/cos(θ), und die pythagoreische Identität sin²(θ) + cos²(θ) = 1 gilt immer. Außerdem sind sin und cos um 90° phasenverschoben, sodass sin(θ) = cos(90°−θ). Mit diesen Beziehungen lassen sich aus einem Funktionswert alle übrigen bestimmen.
Warum ist tan 90° nicht definiert?
tan ist als sin/cos definiert, und bei 90° (oder 270°) wird cos zu 0, was einer Division durch null entspricht. In diesen Fällen zeigt dieser Rechner tan und sec als 'nicht definiert' an. Ebenso sind bei 0° und 180°, wo sin gleich 0 ist, csc und cot nicht definiert.
Was sind csc, sec und cot?
Sie sind die Kehrwerte von sin, cos und tan: csc (Kosekans) = 1/sin, sec (Sekans) = 1/cos und cot (Kotangens) = 1/tan. Sie werden seltener verwendet, sind aber nützlich, um Ausdrücke in der Analysis und in der Physik übersichtlich zu vereinfachen.
Kann es auch Umkehrfunktionen (arcsin usw.) berechnen?
Umkehrfunktionen arbeiten von einem Funktionswert zurück, um den Winkel zu finden. Der Winkel, dessen Sinus 0,5 beträgt, wird als arcsin(0,5) = 30° bestimmt. Beachten Sie jedoch, dass sin und cos nur Werte zwischen −1 und 1 zulassen, während tan jede reelle Zahl annimmt.
Darf ich negative Winkel oder Winkel über 360° eingeben?
Ja. Trigonometrische Funktionen sind periodisch, daher wiederholen sich sin und cos alle 360° (2π) und tan alle 180° (π). Zum Beispiel ist sin(390°) = sin(30°) = 0,5, und sin(−30°) = −sin(30°) = −0,5; negative Winkel werden also problemlos verarbeitet.
Wie genau sind die Ergebnisse?
Dieser Rechner rundet und zeigt die Ergebnisse auf 10 Dezimalstellen an. Werte kleiner als 1e−12 werden als Gleitkommafehler behandelt und auf 0 bereinigt, sodass sin 180° genau 0 statt 0,0000000001 anzeigt.
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