حاسبة القاسم المشترك الأكبر والمضاعف المشترك الأصغر

احسب القاسم المشترك الأكبر (GCD) والمضاعف المشترك الأصغر (LCM) لعدة أعداد صحيحة فورًا باستخدام خوارزمية إقليدس مع عرض خطوات التحليل إلى العوامل الأولية مجانًا عبر الإنترنت.

طريقة الاستخدام

  1. أدخل البيانات

    أدخل القيم المطلوبة في حقول الإدخال.

  2. اضبط الإعدادات

    اختر الخيارات والإعدادات المناسبة.

  3. اعرض النتائج

    انقر احسب للحصول على النتائج فوراً.

ما هو القاسم المشترك الأكبر والمضاعف المشترك الأصغر؟

القاسم المشترك الأكبر (GCD) هو أكبر عدد يقسم عددين صحيحين أو أكثر دون باقٍ، بينما المضاعف المشترك الأصغر (LCM) هو أصغر عدد موجب تقسمه جميع تلك الأعداد دون باقٍ.

فمثلاً القواسم المشتركة للعددين 12 و18 هي 1 و2 و3 و6، لذا فإن القاسم المشترك الأكبر هو 6، وأول مضاعف مشترك بينهما هو 36 وهو المضاعف المشترك الأصغر.

أين يُستخدم؟

  • القاسم المشترك الأكبر: تبسيط الكسور وإيجاد أكبر مجموعة متساوية عند توزيع الأشياء بالتساوي
  • المضاعف المشترك الأصغر: إيجاد مقام مشترك وتحديد متى يتزامن حدثان لهما دورتان مختلفتان مرة أخرى (مثل مواعيد الحافلات)

صيغة الحساب

يُحسب القاسم المشترك الأكبر باستخدام خوارزمية إقليدس.

GCD(a, b) = GCD(b, a mod b) — كرّر حتى يصبح الباقي 0، والقيمة عند تلك النقطة هي القاسم المشترك الأكبر.

ويُشتق المضاعف المشترك الأصغر من القاسم المشترك الأكبر.

LCM(a, b) = |a × b| / GCD(a, b)

مثال: 12 و18

  • GCD: 18 mod 12 = 6 ← 12 mod 6 = 0 ← GCD = 6
  • LCM: (12 × 18) / 6 = 36

a وb هما العددان الصحيحان اللذان أدخلتهما؛ وإذا كان هناك ثلاثة أعداد أو أكثر فتُجمَّع اثنين اثنين بالتتابع.

الأسئلة الشائعة

ما هو القاسم المشترك الأكبر (GCD)؟
القاسم المشترك الأكبر (Greatest Common Divisor) هو أكبر عدد يكون قاسماً مشتركاً لعددين صحيحين أو أكثر. فمثلاً القواسم المشتركة للعددين 12 و18 هي 1 و2 و3 و6، والقاسم المشترك الأكبر هو 6. يُستخدم القاسم المشترك الأكبر في تبسيط الكسور واختزال النسب.
ما هو المضاعف المشترك الأصغر (LCM)؟
المضاعف المشترك الأصغر (Least Common Multiple) هو أصغر عدد موجب يكون مضاعفاً مشتركاً لعددين صحيحين أو أكثر. فمثلاً المضاعف المشترك الأصغر للعددين 12 و18 هو 36. يُستخدم في توحيد مقامات الكسور وحسابات الدورات، ويمكن إيجاده بالعلاقة LCM(a,b) = a × b / GCD(a,b).
ما هي خوارزمية إقليدس؟
خوارزمية إقليدس طريقة فعّالة لإيجاد القاسم المشترك الأكبر. تُكرَّر العلاقة GCD(a,b) = GCD(b, a mod b)، وعندما يصبح الباقي 0 تكون القيمة عند تلك الخطوة هي القاسم المشترك الأكبر. مثال: GCD(18,12) ← GCD(12,6) ← GCD(6,0) = 6. وقد اقترحها إقليدس نحو عام 300 قبل الميلاد، وهي من أقدم الخوارزميات المعروفة.
ما العلاقة بين القاسم المشترك الأكبر والمضاعف المشترك الأصغر؟
بالنسبة إلى عددين a وb تتحقق العلاقة GCD(a,b) × LCM(a,b) = a × b. أي أن حاصل ضرب القاسم المشترك الأكبر في المضاعف المشترك الأصغر يساوي حاصل ضرب العددين الأصليين. وبفضل هذه الخاصية، بمجرد إيجاد القاسم المشترك الأكبر يمكن الحصول على المضاعف المشترك الأصغر بعملية ضرب وقسمة واحدة.
هل يمكن حساب ثلاثة أعداد أو أكثر؟
نعم، تقبل هذه الحاسبة حتى 10 أعداد. ما عليك سوى إدخالها مفصولة بفواصل أو مسافات. ويُحسب القاسم المشترك الأكبر والمضاعف المشترك الأصغر لعدة أعداد بجمعها اثنين اثنين من البداية، مثل GCD(GCD(a,b),c).
ماذا يحدث عندما يكون العددان أوّليّين فيما بينهما؟
عندما يكون القاسم المشترك الوحيد لعددين هو 1 يُقال إنهما أوّليّان فيما بينهما (coprime)، وعندئذٍ يكون القاسم المشترك الأكبر مساوياً لـ 1. وفي هذه الحالة يكون المضاعف المشترك الأصغر هو حاصل ضرب العددين مباشرة (a × b). فمثلاً العددان 8 و9 أوّليّان فيما بينهما، لذا فإن القاسم المشترك الأكبر هو 1 والمضاعف المشترك الأصغر هو 72.
صيغ موثّقة 2026

آلات حاسبة ذات صلة

حاسبة النسبة المئوية3종(of/change/diff)حاسبة العمر만나이/세는나이/띠/D-Dayمولد أرقام عشوائيةcrypto.getRandomValuesحاسبة الكسورa/b +,-,x,/ c/d → 약분