Calculateur PGCD et PPCM

Calculez instantanément le plus grand commun diviseur (PGCD) et le plus petit commun multiple (PPCM) de plusieurs entiers. Saisissez vos nombres pour voir l'algorithme d'Euclide et la décomposition.

Mode d'emploi

  1. Entrer les nombres

    Saisissez deux ou plusieurs nombres entiers séparés par des virgules.

  2. Lancer le calcul

    Cliquez sur Calculer pour obtenir le PGCD et le PPCM simultanément.

  3. Voir les détails

    Consultez la décomposition en facteurs premiers et les étapes de calcul détaillées.

Qu'est-ce que le PGCD et le PPCM ?

Le plus grand commun diviseur (PGCD) est le plus grand nombre qui divise deux entiers ou plus sans laisser de reste, tandis que le plus petit commun multiple (PPCM) est le plus petit nombre positif que tous ces entiers divisent exactement.

Par exemple, les diviseurs communs de 12 et 18 sont 1, 2, 3 et 6 : le PGCD est donc 6, et le premier multiple qu'ils ont en commun est 36, qui est le PPCM.

À quoi cela sert-il ?

  • PGCD : simplifier des fractions et trouver le plus grand groupe identique lorsqu'on répartit des objets à parts égales
  • PPCM : trouver un dénominateur commun et déterminer quand deux événements de cycles différents coïncident à nouveau (par exemple, les horaires de bus)

Formule

Le PGCD se calcule avec l'algorithme d'Euclide.

PGCD(a, b) = PGCD(b, a mod b) — on répète jusqu'à ce que le reste soit 0, et la valeur à ce moment-là est le PGCD.

Le PPCM se déduit du PGCD.

PPCM(a, b) = |a × b| / PGCD(a, b)

Exemple : 12 et 18

  • PGCD : 18 mod 12 = 6 → 12 mod 6 = 0 → PGCD = 6
  • PPCM : (12 × 18) / 6 = 36

a et b sont les entiers saisis ; à partir de trois nombres, on les combine deux par deux successivement.

Questions fréquentes

Qu'est-ce que le plus grand commun diviseur (PGCD) ?
Le plus grand commun diviseur est le plus grand nombre qui est un diviseur commun de deux entiers ou plus. Par exemple, les diviseurs communs de 12 et 18 sont 1, 2, 3 et 6 : le PGCD est donc 6. Le PGCD sert à simplifier les fractions et à réduire les rapports.
Qu'est-ce que le plus petit commun multiple (PPCM) ?
Le plus petit commun multiple est le plus petit nombre positif qui est un multiple commun de deux entiers ou plus. Par exemple, le PPCM de 12 et 18 est 36. Le PPCM sert à trouver des dénominateurs communs et dans les calculs de cycles ; il s'obtient avec PPCM(a,b) = a × b / PGCD(a,b).
Qu'est-ce que l'algorithme d'Euclide ?
L'algorithme d'Euclide est une méthode efficace pour trouver le PGCD. On répète PGCD(a,b) = PGCD(b, a mod b), et lorsque le reste atteint 0, la valeur à cette étape est le PGCD. Exemple : PGCD(18,12) → PGCD(12,6) → PGCD(6,0) = 6. Proposé par Euclide vers 300 av. J.-C., c'est l'un des plus anciens algorithmes connus.
Quelle est la relation entre le PGCD et le PPCM ?
Pour deux nombres a et b, la relation PGCD(a,b) × PPCM(a,b) = a × b est vérifiée. Autrement dit, le produit du PGCD et du PPCM est égal au produit des deux nombres d'origine. Grâce à cette propriété, une fois le PGCD connu, on obtient le PPCM par une simple multiplication et division.
Peut-on calculer trois nombres ou plus ?
Oui, ce calculateur accepte jusqu'à 10 nombres. Il suffit de les saisir séparés par des virgules ou des espaces. Le PGCD et le PPCM de plusieurs nombres se calculent en les regroupant deux par deux depuis le début, comme PGCD(PGCD(a,b),c).
Que se passe-t-il lorsque deux nombres sont premiers entre eux ?
Lorsque le seul diviseur commun de deux nombres est 1, on dit qu'ils sont premiers entre eux (coprimes), et dans ce cas le PGCD vaut 1. Pour des nombres premiers entre eux, le PPCM est simplement le produit des deux nombres (a × b). Par exemple, 8 et 9 sont premiers entre eux : leur PGCD est 1 et leur PPCM est 72.
Formules vérifiées 2026

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