Calcolatore Matrici

Esegui operazioni con le matrici: somma, moltiplicazione, determinante, inversa e trasposta. Ottieni subito il risultato e risolvi sistemi di equazioni lineari gratis.

Come usare

  1. Inserisci i dati

    Inserisci i valori richiesti nei campi di input.

  2. Regola le impostazioni

    Seleziona le opzioni e impostazioni appropriate.

  3. Visualizza risultati

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Che cos'è una matrice?

Una matrice è una disposizione rettangolare di numeri, usata come strumento per trattare sistemi di equazioni, trasformazioni lineari e trasformazioni di dati come un unico blocco. Una matrice m×n è composta da m righe e n colonne, e il valore in ciascuna posizione è chiamato elemento.

Una matrice quadrata, in cui il numero di righe è uguale a quello delle colonne, è particolarmente importante perché può avere un determinante e un'inversa. Questa calcolatrice supporta sei operazioni: il determinante, l'inversa, la trasposta e la moltiplicazione per uno scalare di una singola matrice, oltre all'addizione e alla moltiplicazione tra due matrici.

Principali ambiti di applicazione

  • Trasformazioni lineari come rotazione e ridimensionamento nella computer grafica
  • Risoluzione di sistemi di equazioni lineari e analisi di regressione in statistica
  • Calcoli dei pesi nel machine learning e analisi strutturale in ingegneria

Formule di calcolo

Determinante 2×2: det(A) = ad - bc (A = [[a,b],[c,d]]). Esempio: per [[1,2],[3,4]], 1×4 - 2×3 = 4 - 6 = -2.

Matrice inversa: A⁻¹ = adj(A) / det(A). Per una matrice 2×2, A⁻¹ = (1/det)·[[d,-b],[-c,a]]. L'inversa dell'esempio sopra è (1/-2)·[[4,-2],[-3,1]] = [[-2,1],[1.5,-0.5]].

Moltiplicazione di matrici: C[i][j] = Σ A[i][k]·B[k][j] — il numero di colonne di A deve essere uguale al numero di righe di B. Trasposta: Aᵀ[i][j] = A[j][i] scambia righe e colonne. I determinanti di matrici 3×3 e maggiori si calcolano ricorsivamente con lo sviluppo di Laplace (sviluppo per cofattori).

Domande frequenti

Che cos'è un determinante?
Il determinante è un valore scalare definito per una matrice quadrata, usato per stabilire se la matrice è invertibile (se esiste un'inversa). Il determinante di una matrice 2×2 [[a,b],[c,d]] è ad-bc, e per matrici 3×3 e maggiori viene calcolato ricorsivamente con lo sviluppo di Laplace (sviluppo per cofattori). Se il determinante è 0, non esiste alcuna inversa.
Quando non esiste una matrice inversa?
Un'inversa non esiste quando il determinante di una matrice quadrata è 0; tale matrice è detta matrice singolare. Per esempio, [[1,2],[2,4]] ha determinante 1×4-2×2=0, quindi non ha inversa. Ciò accade quando le righe (o le colonne) della matrice sono linearmente dipendenti tra loro.
L'ordine della moltiplicazione di matrici è importante?
Sì, la moltiplicazione di matrici non è commutativa. Cioè A×B ≠ B×A. Inoltre, perché la moltiplicazione di matrici sia possibile, il numero di colonne della prima matrice deve essere uguale al numero di righe della seconda. Per esempio, una matrice (2×3) e una matrice (3×2) possono essere moltiplicate, ma (2×3) e (2×3) no.
Fino a quale dimensione di matrice si può calcolare?
Si possono calcolare matrici fino a 10×10 di dimensione. È possibile impostare liberamente il numero di righe e colonne, quindi sono supportate anche addizione, moltiplicazione e trasposizione di matrici rettangolari. Tuttavia il determinante e l'inversa sono definiti solo per matrici quadrate, in cui il numero di righe è uguale a quello delle colonne.
A cosa serve una trasposta?
Una trasposta è una matrice con righe e colonne scambiate, definita da Aᵀ[i][j] = A[j][i]. Trasporre una matrice m×n produce una matrice n×m. Viene usata nei calcoli di covarianza in statistica, nel rimodellamento dei dati nel machine learning e per stabilire se una matrice è simmetrica (A=Aᵀ).
Quali sono le condizioni per l'addizione di matrici?
L'addizione di matrici è possibile solo quando le due matrici hanno esattamente le stesse dimensioni (numero di righe e colonne), e si sommano gli elementi nella stessa posizione (C[i][j] = A[i][j] + B[i][j]). A differenza della moltiplicazione, l'addizione è commutativa (A+B = B+A).
Come si calcola la moltiplicazione per uno scalare?
La moltiplicazione per uno scalare è l'operazione di moltiplicare ogni elemento di una matrice per lo stesso numero (scalare), calcolata come C[i][j] = k × A[i][j]. Per esempio, moltiplicare [[1,2],[3,4]] per 3 dà [[3,6],[9,12]]. La dimensione della matrice rimane invariata.
Come vengono gestiti i decimali nei risultati?
I decimali che derivano da divisioni o somme accumulate in operazioni come l'inversa e la moltiplicazione vengono arrotondati e mostrati con 10 cifre decimali. Così i decimali periodici come 1/3 vengono mostrati come valori approssimati come 0.3333333333, mentre i risultati interi, come un determinante, vengono mostrati così come sono.
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