मैट्रिक्स कैलकुलेटर

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मैट्रिक्स क्या है?

मैट्रिक्स (matrix) संख्याओं को आयताकार रूप में व्यवस्थित की गई एक सारणी है, जो समीकरण निकायों, रैखिक रूपांतरणों और डेटा रूपांतरणों को एक इकाई के रूप में संभालने का साधन है। एक m×n मैट्रिक्स में m पंक्तियाँ और n स्तंभ होते हैं, और प्रत्येक स्थान के मान को अवयव (element) कहते हैं।

वर्ग मैट्रिक्स, जिसमें पंक्तियों की संख्या स्तंभों की संख्या के बराबर होती है, विशेष रूप से महत्वपूर्ण है क्योंकि इसका सारणिक और प्रतिलोम हो सकता है। यह कैलकुलेटर छह संक्रियाओं का समर्थन करता है: एक मैट्रिक्स का सारणिक, प्रतिलोम, परिवर्त और अदिश गुणन, तथा दो मैट्रिक्सों के बीच योग और गुणन।

मुख्य उपयोग क्षेत्र

कंप्यूटर ग्राफिक्स में घूर्णन, विस्तार आदि रैखिक रूपांतरण
रैखिक समीकरण निकायों का हल और सांख्यिकी में समाश्रयण विश्लेषण
मशीन लर्निंग में भार गणना, अभियांत्रिकी में संरचनात्मक विश्लेषण

गणना सूत्र

2×2 सारणिक: det(A) = ad - bc (A = [[a,b],[c,d]])। उदाहरण: [[1,2],[3,4]] के लिए, 1×4 - 2×3 = 4 - 6 = -2।

प्रतिलोम मैट्रिक्स: A⁻¹ = adj(A) / det(A)। 2×2 के लिए, A⁻¹ = (1/det)·[[d,-b],[-c,a]]। उपरोक्त उदाहरण का प्रतिलोम (1/-2)·[[4,-2],[-3,1]] = [[-2,1],[1.5,-0.5]] है।

मैट्रिक्स गुणन: C[i][j] = Σ A[i][k]·B[k][j] — A के स्तंभों की संख्या B की पंक्तियों की संख्या के बराबर होनी चाहिए। परिवर्त: Aᵀ[i][j] = A[j][i] पंक्तियों और स्तंभों को आपस में बदल देता है। 3×3 और उससे बड़े सारणिक लाप्लास प्रसरण (सहखंड प्रसरण) द्वारा पुनरावर्ती रूप से परिकलित किए जाते हैं।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

सारणिक (determinant) क्या है?

सारणिक एक वर्ग मैट्रिक्स के लिए परिभाषित एक अदिश मान है, जिसका उपयोग यह निर्धारित करने के लिए किया जाता है कि मैट्रिक्स व्युत्क्रमणीय है या नहीं (प्रतिलोम मौजूद है या नहीं)। 2×2 मैट्रिक्स [[a,b],[c,d]] का सारणिक ad-bc होता है, और 3×3 तथा उससे बड़े के लिए इसे लाप्लास प्रसरण (सहखंड प्रसरण) द्वारा पुनरावर्ती रूप से परिकलित किया जाता है। यदि सारणिक 0 है, तो कोई प्रतिलोम मौजूद नहीं होता।

प्रतिलोम मैट्रिक्स कब मौजूद नहीं होता?

प्रतिलोम तब मौजूद नहीं होता जब किसी वर्ग मैट्रिक्स का सारणिक 0 हो; ऐसी मैट्रिक्स को विचित्र मैट्रिक्स (singular matrix) कहा जाता है। उदाहरण के लिए, [[1,2],[2,4]] का सारणिक 1×4-2×2=0 है, इसलिए इसका प्रतिलोम नहीं है। ऐसा तब होता है जब मैट्रिक्स की पंक्तियाँ (या स्तंभ) परस्पर रैखिक रूप से आश्रित हों।

क्या मैट्रिक्स गुणन का क्रम मायने रखता है?

हाँ, मैट्रिक्स गुणन क्रमविनिमेय नहीं है। अर्थात् A×B ≠ B×A। साथ ही, मैट्रिक्स गुणन संभव होने के लिए, पहली मैट्रिक्स के स्तंभों की संख्या दूसरी की पंक्तियों की संख्या के बराबर होनी चाहिए। उदाहरण के लिए, (2×3) मैट्रिक्स और (3×2) मैट्रिक्स का गुणन हो सकता है, परंतु (2×3) और (2×3) का नहीं।

किस आकार तक की मैट्रिक्स की गणना की जा सकती है?

10×10 आकार तक की मैट्रिक्स की गणना की जा सकती है। आप पंक्तियों और स्तंभों की संख्या स्वतंत्र रूप से निर्धारित कर सकते हैं, इसलिए आयताकार मैट्रिक्सों के योग, गुणन और परिवर्त का भी समर्थन है। हालाँकि सारणिक और प्रतिलोम केवल वर्ग मैट्रिक्सों के लिए परिभाषित हैं, जिनमें पंक्तियों की संख्या स्तंभों की संख्या के बराबर होती है।

परिवर्त (transpose) किस काम आता है?

परिवर्त वह मैट्रिक्स है जिसमें पंक्तियाँ और स्तंभ आपस में बदल दिए जाते हैं, जिसे Aᵀ[i][j] = A[j][i] द्वारा परिभाषित किया जाता है। m×n मैट्रिक्स को परिवर्तित करने पर n×m मैट्रिक्स प्राप्त होती है। इसका उपयोग सांख्यिकी में सहप्रसरण गणना, मशीन लर्निंग में डेटा का स्वरूप बदलने और यह निर्धारित करने में होता है कि मैट्रिक्स सममित (A=Aᵀ) है या नहीं।

मैट्रिक्स योग की शर्तें क्या हैं?

मैट्रिक्स योग केवल तभी संभव है जब दोनों मैट्रिक्सों के आयाम (पंक्तियों और स्तंभों की संख्या) पूर्णतः समान हों, और एक ही स्थान के अवयव जोड़े जाते हैं (C[i][j] = A[i][j] + B[i][j])। गुणन के विपरीत, योग क्रमविनिमेय (A+B = B+A) होता है।

अदिश गुणन कैसे परिकलित किया जाता है?

अदिश गुणन वह संक्रिया है जिसमें मैट्रिक्स के प्रत्येक अवयव को समान संख्या (अदिश) से गुणा किया जाता है, जिसे C[i][j] = k × A[i][j] द्वारा परिकलित किया जाता है। उदाहरण के लिए, [[1,2],[3,4]] को 3 से गुणा करने पर [[3,6],[9,12]] प्राप्त होता है। मैट्रिक्स का आकार अपरिवर्तित रहता है।

परिणामों में दशमलव स्थानों को कैसे संभाला जाता है?

प्रतिलोम और गुणन जैसी संक्रियाओं में विभाजन या संचित योग से उत्पन्न दशमलव को 10 दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करके दिखाया जाता है। इस प्रकार 1/3 जैसी आवर्ती दशमलव संख्याएँ 0.3333333333 जैसे सन्निकट मानों के रूप में दिखाई देती हैं, जबकि सारणिक जैसे पूर्णांक परिणाम ज्यों के त्यों दिखाए जाते हैं।

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