Matrizenrechner

Berechnen Sie Matrizenoperationen: Addition, Multiplikation, Determinante, Inverse und Transponierte. Lösen Sie lineare Gleichungssysteme mit diesem kostenlosen Matrizenrechner.

Anleitung

  1. Matrix eingeben

    Geben Sie die Elemente Ihrer Matrix(en) ein.

  2. Operation wählen

    Wählen Sie die gewünschte Operation (Addition, Multiplikation, Determinante, Inverse).

  3. Ergebnis ablesen

    Sehen Sie das Ergebnis der Matrizenoperation mit Lösungsweg.

Was ist eine Matrix?

Eine Matrix ist eine rechteckige Anordnung von Zahlen und dient als Werkzeug, um Gleichungssysteme, lineare Transformationen und Datentransformationen als einen Block zu behandeln. Eine m×n-Matrix besteht aus m Zeilen und n Spalten, und der Wert an jeder Position wird als Element bezeichnet.

Eine quadratische Matrix, bei der die Zahl der Zeilen gleich der Zahl der Spalten ist, ist besonders wichtig, da sie eine Determinante und eine Inverse besitzen kann. Dieser Rechner unterstützt sechs Operationen: Determinante, Inverse, Transponierte und Skalarmultiplikation einer einzelnen Matrix sowie Addition und Multiplikation zwischen zwei Matrizen.

Wichtige Anwendungsbereiche

  • Lineare Transformationen wie Rotation und Skalierung in der Computergrafik
  • Lösen linearer Gleichungssysteme und Regressionsanalyse in der Statistik
  • Gewichtsberechnungen im maschinellen Lernen und Strukturanalyse im Ingenieurwesen

Berechnungsformeln

2×2-Determinante: det(A) = ad - bc (A = [[a,b],[c,d]]). Beispiel: für [[1,2],[3,4]] gilt 1×4 - 2×3 = 4 - 6 = -2.

Inverse Matrix: A⁻¹ = adj(A) / det(A). Für eine 2×2-Matrix gilt A⁻¹ = (1/det)·[[d,-b],[-c,a]]. Die Inverse des obigen Beispiels ist (1/-2)·[[4,-2],[-3,1]] = [[-2,1],[1.5,-0.5]].

Matrizenmultiplikation: C[i][j] = Σ A[i][k]·B[k][j] — die Zahl der Spalten von A muss gleich der Zahl der Zeilen von B sein. Transponierte: Aᵀ[i][j] = A[j][i] vertauscht Zeilen und Spalten. Determinanten von 3×3-Matrizen und größer werden rekursiv mit der Laplace-Entwicklung (Kofaktorentwicklung) berechnet.

Häufig gestellte Fragen

Was ist eine Determinante?
Die Determinante ist ein für eine quadratische Matrix definierter Skalarwert, mit dem bestimmt wird, ob die Matrix invertierbar ist (ob eine Inverse existiert). Die Determinante einer 2×2-Matrix [[a,b],[c,d]] ist ad-bc, und für 3×3-Matrizen und größer wird sie rekursiv mit der Laplace-Entwicklung (Kofaktorentwicklung) berechnet. Ist die Determinante 0, existiert keine Inverse.
Wann existiert keine inverse Matrix?
Eine Inverse existiert nicht, wenn die Determinante einer quadratischen Matrix 0 ist; eine solche Matrix wird als singuläre Matrix bezeichnet. Beispielsweise hat [[1,2],[2,4]] die Determinante 1×4-2×2=0 und besitzt daher keine Inverse. Dies tritt auf, wenn die Zeilen (oder Spalten) der Matrix linear voneinander abhängig sind.
Ist die Reihenfolge der Matrizenmultiplikation wichtig?
Ja, die Matrizenmultiplikation ist nicht kommutativ. Das heißt, A×B ≠ B×A. Außerdem muss für die Matrizenmultiplikation die Zahl der Spalten der ersten Matrix gleich der Zahl der Zeilen der zweiten sein. So lassen sich eine (2×3)-Matrix und eine (3×2)-Matrix multiplizieren, (2×3) und (2×3) jedoch nicht.
Bis zu welcher Größe können Matrizen berechnet werden?
Sie können Matrizen bis zu einer Größe von 10×10 berechnen. Die Zahl der Zeilen und Spalten lässt sich frei einstellen, sodass auch Addition, Multiplikation und Transposition rechteckiger Matrizen unterstützt werden. Determinante und Inverse sind jedoch nur für quadratische Matrizen definiert, bei denen die Zahl der Zeilen gleich der Zahl der Spalten ist.
Wofür wird eine Transponierte verwendet?
Eine Transponierte ist eine Matrix mit vertauschten Zeilen und Spalten, definiert durch Aᵀ[i][j] = A[j][i]. Das Transponieren einer m×n-Matrix ergibt eine n×m-Matrix. Sie wird bei Kovarianzberechnungen in der Statistik, beim Umformen von Daten im maschinellen Lernen und beim Prüfen, ob eine Matrix symmetrisch ist (A=Aᵀ), verwendet.
Was sind die Bedingungen für die Matrizenaddition?
Die Matrizenaddition ist nur möglich, wenn beide Matrizen exakt dieselben Dimensionen (Zahl der Zeilen und Spalten) haben, und die Elemente an derselben Position werden addiert (C[i][j] = A[i][j] + B[i][j]). Anders als die Multiplikation ist die Addition kommutativ (A+B = B+A).
Wie wird die Skalarmultiplikation berechnet?
Die Skalarmultiplikation ist die Operation, bei der jedes Element einer Matrix mit derselben Zahl (Skalar) multipliziert wird, berechnet als C[i][j] = k × A[i][j]. Multipliziert man beispielsweise [[1,2],[3,4]] mit 3, ergibt sich [[3,6],[9,12]]. Die Größe der Matrix bleibt unverändert.
Wie werden Nachkommastellen in den Ergebnissen behandelt?
Dezimalzahlen, die bei Operationen wie Inverse und Multiplikation durch Division oder akkumulierte Summen entstehen, werden auf 10 Nachkommastellen gerundet angezeigt. So werden periodische Dezimalzahlen wie 1/3 als Näherungswerte wie 0.3333333333 dargestellt, während ganzzahlige Ergebnisse wie eine Determinante unverändert angezeigt werden.
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