حاسبة المصفوفات

احسب عمليات المصفوفات من جمع وضرب ومحدد ومعكوس ومنقول، واحصل على النتيجة فورًا لحل أنظمة المعادلات الخطية مع حاسبة المصفوفات المجانية عبر الإنترنت لطلاب الجبر الخطي.

طريقة الاستخدام

  1. أدخل البيانات

    أدخل القيم المطلوبة في حقول الإدخال.

  2. اضبط الإعدادات

    اختر الخيارات والإعدادات المناسبة.

  3. اعرض النتائج

    انقر احسب للحصول على النتائج فوراً.

ما هي المصفوفة؟

المصفوفة (matrix) هي ترتيب مستطيل للأعداد، تُستخدم كأداة للتعامل مع أنظمة المعادلات والتحويلات الخطية وتحويلات البيانات ككتلة واحدة. تتكون المصفوفة m×n من m صفوف وn أعمدة، والقيمة في كل موضع تُسمى عنصرًا (element).

تُعد المصفوفة المربعة، التي يساوي فيها عدد الصفوف عدد الأعمدة، مهمة بشكل خاص لأنها يمكن أن تمتلك محددًا ومعكوسًا. تدعم هذه الحاسبة ست عمليات: المحدد والمعكوس والمنقول والضرب القياسي لمصفوفة واحدة، بالإضافة إلى الجمع والضرب بين مصفوفتين.

أهم مجالات الاستخدام

  • التحويلات الخطية مثل الدوران والتكبير في رسوميات الحاسوب
  • حل أنظمة المعادلات الخطية وتحليل الانحدار في الإحصاء
  • حسابات الأوزان في تعلم الآلة وتحليل البنى في الهندسة

صيغ الحساب

محدد 2×2: det(A) = ad - bc (A = [[a,b],[c,d]]). مثال: للمصفوفة [[1,2],[3,4]], 1×4 - 2×3 = 4 - 6 = -2.

المصفوفة المعكوسة: A⁻¹ = adj(A) / det(A). بالنسبة لمصفوفة 2×2، A⁻¹ = (1/det)·[[d,-b],[-c,a]]. معكوس المثال أعلاه هو (1/-2)·[[4,-2],[-3,1]] = [[-2,1],[1.5,-0.5]].

ضرب المصفوفات: C[i][j] = Σ A[i][k]·B[k][j] — يجب أن يساوي عدد أعمدة A عدد صفوف B. المنقول: Aᵀ[i][j] = A[j][i] يبدّل بين الصفوف والأعمدة. تُحسب محددات المصفوفات 3×3 وما أكبر بشكل تكراري باستخدام نشر لابلاس (نشر العوامل المرافقة).

الأسئلة الشائعة

ما هو المحدد (determinant)؟
المحدد هو قيمة قياسية تُعرَّف لمصفوفة مربعة، ويُستخدم لتحديد ما إذا كانت المصفوفة قابلة للعكس (ما إذا كان المعكوس موجودًا). محدد مصفوفة 2×2 [[a,b],[c,d]] هو ad-bc، وللمصفوفات 3×3 وما أكبر يُحسب بشكل تكراري باستخدام نشر لابلاس (نشر العوامل المرافقة). إذا كان المحدد 0، فلا يوجد معكوس.
متى لا يوجد للمصفوفة معكوس؟
لا يوجد معكوس عندما يكون محدد المصفوفة المربعة 0؛ وتُسمى هذه المصفوفة مصفوفة شاذة (singular matrix). على سبيل المثال، المصفوفة [[1,2],[2,4]] محددها 1×4-2×2=0، لذا ليس لها معكوس. يحدث هذا عندما تكون صفوف (أو أعمدة) المصفوفة مرتبطة خطيًا فيما بينها.
هل يهم ترتيب ضرب المصفوفات؟
نعم، ضرب المصفوفات ليس تبديليًا. أي أن A×B ≠ B×A. كذلك، لكي يكون ضرب المصفوفات ممكنًا، يجب أن يساوي عدد أعمدة المصفوفة الأولى عدد صفوف الثانية. على سبيل المثال، يمكن ضرب مصفوفة (2×3) ومصفوفة (3×2)، لكن لا يمكن ضرب (2×3) و(2×3).
ما هو أكبر حجم مصفوفة يمكن حسابه؟
يمكنك حساب مصفوفات حتى حجم 10×10. يمكنك ضبط عدد الصفوف والأعمدة بحرية، لذا يُدعم أيضًا جمع وضرب ومنقول المصفوفات المستطيلة. غير أن المحدد والمعكوس معرَّفان فقط للمصفوفات المربعة، التي يساوي فيها عدد الصفوف عدد الأعمدة.
فيمَ يُستخدم المنقول (transpose)؟
المنقول هو مصفوفة جرى فيها تبديل الصفوف والأعمدة، ويُعرَّف بـ Aᵀ[i][j] = A[j][i]. نقل مصفوفة m×n يُنتج مصفوفة n×m. يُستخدم في حسابات التغاير في الإحصاء، وإعادة تشكيل البيانات في تعلم الآلة، وتحديد ما إذا كانت المصفوفة متماثلة (A=Aᵀ).
ما هي شروط جمع المصفوفات؟
جمع المصفوفات ممكن فقط عندما يكون للمصفوفتين الأبعاد نفسها تمامًا (عدد الصفوف والأعمدة)، وتُجمع العناصر في الموضع نفسه (C[i][j] = A[i][j] + B[i][j]). وعلى عكس الضرب، فإن الجمع تبديلي (A+B = B+A).
كيف يُحسب الضرب القياسي؟
الضرب القياسي هو عملية ضرب كل عنصر من عناصر المصفوفة في العدد نفسه (القياسي)، ويُحسب بالصيغة C[i][j] = k × A[i][j]. على سبيل المثال، ضرب [[1,2],[3,4]] في 3 يعطي [[3,6],[9,12]]. ويبقى حجم المصفوفة دون تغيير.
كيف تُعالَج المنازل العشرية في النتائج؟
الأعداد العشرية الناتجة عن القسمة أو المجاميع المتراكمة في عمليات مثل المعكوس والضرب تُقرَّب وتُعرَض حتى 10 منازل عشرية. وبذلك تظهر الأعداد العشرية الدورية مثل 1/3 كقيم تقريبية مثل 0.3333333333، بينما تُعرض النتائج الصحيحة مثل المحدد كما هي.
صيغ موثّقة 2026

آلات حاسبة ذات صلة

حاسبة النسبة المئوية3종(of/change/diff)حاسبة العمر만나이/세는나이/띠/D-Dayمولد أرقام عشوائيةcrypto.getRandomValuesحاسبة الكسورa/b +,-,x,/ c/d → 약분