Калькулятор матриц

Выберите операцию

Как пользоваться

Введите данные
Введите необходимые значения в поля ввода.
Настройте параметры
Выберите подходящие опции и настройки.
Посмотрите результат
Нажмите Рассчитать для мгновенного результата.

Что такое матрица?

Матрица (matrix) — это прямоугольная таблица чисел, которая служит инструментом для работы с системами уравнений, линейными преобразованиями и преобразованиями данных как единым целым. Матрица m×n состоит из m строк и n столбцов, а значение в каждой позиции называется элементом (element).

Квадратная матрица, у которой число строк равно числу столбцов, особенно важна, поскольку она может иметь определитель и обратную матрицу. Этот калькулятор поддерживает шесть операций: определитель, обратную матрицу, транспонирование и умножение на скаляр одной матрицы, а также сложение и умножение двух матриц.

Основные области применения

Линейные преобразования, такие как поворот и масштабирование в компьютерной графике
Решение систем линейных уравнений и регрессионный анализ в статистике
Вычисления весов в машинном обучении и анализ конструкций в инженерии

Формулы расчёта

Определитель 2×2: det(A) = ad - bc (A = [[a,b],[c,d]]). Пример: для [[1,2],[3,4]] 1×4 - 2×3 = 4 - 6 = -2.

Обратная матрица: A⁻¹ = adj(A) / det(A). Для матрицы 2×2 A⁻¹ = (1/det)·[[d,-b],[-c,a]]. Обратная матрица для примера выше: (1/-2)·[[4,-2],[-3,1]] = [[-2,1],[1.5,-0.5]].

Умножение матриц: C[i][j] = Σ A[i][k]·B[k][j] — число столбцов A должно быть равно числу строк B. Транспонирование: Aᵀ[i][j] = A[j][i] меняет местами строки и столбцы. Определители матриц 3×3 и больше вычисляются рекурсивно с помощью разложения Лапласа (разложения по минорам).

Часто задаваемые вопросы

Что такое определитель (determinant)?

Определитель — это скалярная величина, определяемая для квадратной матрицы и используемая для проверки обратимости матрицы (существования обратной). Определитель матрицы 2×2 [[a,b],[c,d]] равен ad-bc, а для матриц 3×3 и больше он вычисляется рекурсивно с помощью разложения Лапласа (разложения по минорам). Если определитель равен 0, обратной матрицы не существует.

Когда обратная матрица не существует?

Обратная матрица не существует, когда определитель квадратной матрицы равен 0; такая матрица называется вырожденной (singular matrix). Например, у [[1,2],[2,4]] определитель равен 1×4-2×2=0, поэтому обратной матрицы нет. Это происходит, когда строки (или столбцы) матрицы линейно зависимы друг от друга.

Важен ли порядок умножения матриц?

Да, умножение матриц некоммутативно. То есть A×B ≠ B×A. Кроме того, чтобы умножение матриц было возможно, число столбцов первой матрицы должно быть равно числу строк второй. Например, матрицу (2×3) и матрицу (3×2) можно перемножить, а (2×3) и (2×3) — нельзя.

Матрицы какого размера можно вычислять?

Можно вычислять матрицы размером до 10×10. Число строк и столбцов задаётся свободно, поэтому поддерживаются также сложение, умножение и транспонирование прямоугольных матриц. Однако определитель и обратная матрица определены только для квадратных матриц, у которых число строк равно числу столбцов.

Для чего используется транспонирование (transpose)?

Транспонированная матрица — это матрица с переставленными строками и столбцами, определяемая как Aᵀ[i][j] = A[j][i]. Транспонирование матрицы m×n даёт матрицу n×m. Оно используется при вычислении ковариации в статистике, при изменении формы данных в машинном обучении и при проверке, является ли матрица симметричной (A=Aᵀ).

Каковы условия сложения матриц?

Сложение матриц возможно только тогда, когда обе матрицы имеют в точности одинаковые размеры (число строк и столбцов), и складываются элементы в одинаковых позициях (C[i][j] = A[i][j] + B[i][j]). В отличие от умножения, сложение коммутативно (A+B = B+A).

Как вычисляется умножение на скаляр?

Умножение на скаляр — это операция умножения каждого элемента матрицы на одно и то же число (скаляр), вычисляемая как C[i][j] = k × A[i][j]. Например, умножение [[1,2],[3,4]] на 3 даёт [[3,6],[9,12]]. Размер матрицы остаётся неизменным.

Как обрабатываются десятичные знаки в результатах?

Десятичные дроби, возникающие при делении или накоплении сумм в таких операциях, как обратная матрица и умножение, округляются и отображаются до 10 знаков после запятой. Так, периодические дроби вроде 1/3 показываются приближёнными значениями, например 0.3333333333, а целочисленные результаты, такие как определитель, отображаются как есть.

Проверенные формулы 2026

Как пользоваться

Что такое матрица?

Основные области применения

Формулы расчёта

Часто задаваемые вопросы

Похожие калькуляторы