เครื่องคำนวณส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (standard deviation) เป็นการวัดการกระจายที่สรุปด้วยตัวเลขเพียงตัวเดียวว่าค่าของข้อมูลอยู่ห่างจากค่าเฉลี่ยมากเพียงใด ชุดข้อมูลสองชุดอาจมีค่าเฉลี่ยเท่ากัน แต่หากส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานต่างกัน ก็จะมีพฤติกรรมด้านความเสถียรและความเสี่ยงที่แตกต่างกันโดยสิ้นเชิง

เหตุใดจึงสำคัญ

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเผยให้เห็นความผันแปรที่ค่าเฉลี่ยเพียงอย่างเดียวมองไม่เห็น ค่าน้อยหมายความว่าข้อมูลเกาะกลุ่มอยู่ใกล้ค่าเฉลี่ยและคาดการณ์ได้ง่าย ส่วนค่ามากหมายความว่าข้อมูลกระจายตัวกว้างและมีความไม่แน่นอนสูง

สาขาการใช้งาน

• การเงิน: ใช้ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของราคาหรือผลตอบแทนเพื่อวัดความเสี่ยงการลงทุน (ความผันผวน)
• การควบคุมคุณภาพ: วิธีอย่าง Six Sigma จัดการการกระจายของกระบวนการเพื่อลดอัตราของเสีย
• การสอบและการวิจัย: ประเมินความสม่ำเสมอของการแจกแจงคะแนนและช่วงความคลาดเคลื่อนของค่าที่วัดได้จากการทดลอง

ในการแจกแจงปกติ กฎที่เรียกว่า 68-95-99.7 ทำให้การตีความเป็นไปอย่างเข้าใจง่าย คือประมาณ 68% ของข้อมูลอยู่ในช่วงค่าเฉลี่ย ±1σ และประมาณ 95% อยู่ในช่วง ±2σ

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากรคือ σ = √(Σ(xᵢ − μ)² / N) และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวอย่างคือ s = √(Σ(xᵢ − x̄)² / (N − 1)) โดยที่ xᵢ คือข้อมูลแต่ละตัว, μ (หรือ x̄) คือค่าเฉลี่ย และ N คือจำนวนข้อมูล

ตัวอย่างทีละขั้นตอน

เมื่อข้อมูลเป็น {2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9}:

• ① ค่าเฉลี่ย μ = (2+4+4+4+5+5+7+9) / 8 = 40 / 8 = 5
• ② ผลรวมกำลังสองของส่วนเบี่ยงเบน Σ(xᵢ−μ)² = 9+1+1+1+0+0+4+16 = 32
• ③ ความแปรปรวนของประชากร = 32 / 8 = 4 → σ = √4 = 2
• ④ ความแปรปรวนของตัวอย่าง = 32 / (8−1) = 4.5714 → s ≈ 2.138

เนื่องจากตัวอย่างหารด้วย N−1 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวอย่างจึงมากกว่าของประชากรเล็กน้อยเสมอ