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Che cos'è la deviazione standard?
La deviazione standard è una misura di dispersione che riassume, in un solo numero, quanto i dati si discostano dalla loro media. Due insiemi di dati possono avere la stessa media e tuttavia comportarsi in modo molto diverso in termini di stabilità e rischio se le loro deviazioni standard differiscono.
Perché è importante
La deviazione standard rivela la variabilità che la sola media non mostra. Un valore piccolo indica che i dati sono raggruppati vicino alla media e molto prevedibili, mentre un valore grande indica che sono ampiamente dispersi e comportano maggiore incertezza.
Dove si utilizza
- Finanza: la deviazione standard di prezzi o rendimenti misura il rischio di investimento (volatilità).
- Controllo qualità: metodi come Six Sigma gestiscono la dispersione del processo per ridurre il tasso di difetti.
- Esami e ricerca: valuta l'omogeneità delle distribuzioni dei voti e il margine di errore delle misurazioni sperimentali.
In una distribuzione normale, la cosiddetta regola 68-95-99,7 rende intuitiva l'interpretazione: circa il 68% dei dati ricade entro la media ±1σ e circa il 95% entro ±2σ.
Formula
La deviazione standard della popolazione è σ = √(Σ(xᵢ − μ)² / N) e la deviazione standard campionaria è s = √(Σ(xᵢ − x̄)² / (N − 1)). Qui xᵢ è ciascun dato, μ (o x̄) è la media e N è il numero di dati.
Esempio passo passo
Per i dati {2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9}:
- 1. Media μ = (2+4+4+4+5+5+7+9) / 8 = 40 / 8 = 5
- 2. Somma degli scarti al quadrato Σ(xᵢ−μ)² = 9+1+1+1+0+0+4+16 = 32
- 3. Varianza della popolazione = 32 / 8 = 4 → σ = √4 = 2
- 4. Varianza campionaria = 32 / (8−1) = 4,5714 → s ≈ 2,138
Poiché il campione divide per N−1, la sua deviazione standard è sempre leggermente maggiore del valore della popolazione.