उपयोग कैसे करें
- डेटा दर्ज करें
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मानक विचलन क्या है?
मानक विचलन (standard deviation) एक प्रकीर्णन माप है जो एक ही संख्या में यह सारांशित करता है कि डेटा के मान अपने माध्य से कितनी दूर हैं। दो डेटासेट का माध्य समान हो सकता है, फिर भी यदि उनके मानक विचलन भिन्न हों तो स्थिरता और जोखिम के मामले में वे बिल्कुल अलग व्यवहार करते हैं।
यह क्यों महत्वपूर्ण है
मानक विचलन उस परिवर्तनशीलता को उजागर करता है जिसे अकेला माध्य नहीं दिखा सकता। छोटा मान बताता है कि डेटा माध्य के पास सघन रूप से एकत्रित है और अत्यधिक पूर्वानुमेय है, जबकि बड़ा मान बताता है कि वह व्यापक रूप से फैला हुआ है और अधिक अनिश्चितता रखता है।
उपयोग के क्षेत्र
- वित्त: कीमतों या प्रतिफल के मानक विचलन से निवेश जोखिम (अस्थिरता) मापा जाता है।
- गुणवत्ता नियंत्रण: सिक्स सिग्मा जैसी विधियाँ दोष दर घटाने हेतु प्रक्रिया के प्रकीर्णन को प्रबंधित करती हैं।
- परीक्षा और अनुसंधान: अंक वितरण की एकरूपता और प्रायोगिक मापों की त्रुटि सीमा का मूल्यांकन करती हैं।
सामान्य वितरण में, तथाकथित 68-95-99.7 नियम व्याख्या को सहज बना देता है: लगभग 68% डेटा माध्य ±1σ के भीतर और लगभग 95% ±2σ के भीतर आता है।
सूत्र
जनसंख्या मानक विचलन σ = √(Σ(xᵢ − μ)² / N) और प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(xᵢ − x̄)² / (N − 1)) से निकाला जाता है। यहाँ xᵢ प्रत्येक डेटा है, μ (या x̄) माध्य है और N डेटा की संख्या है।
चरण-दर-चरण उदाहरण
डेटा {2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9} के लिए:
- 1. माध्य μ = (2+4+4+4+5+5+7+9) / 8 = 40 / 8 = 5
- 2. विचलनों के वर्गों का योग Σ(xᵢ−μ)² = 9+1+1+1+0+0+4+16 = 32
- 3. जनसंख्या प्रसरण = 32 / 8 = 4 → σ = √4 = 2
- 4. प्रतिदर्श प्रसरण = 32 / (8−1) = 4.5714 → s ≈ 2.138
चूँकि प्रतिदर्श N−1 से भाग देता है, इसका मानक विचलन हमेशा जनसंख्या से थोड़ा बड़ा होता है।