Калькулятор стандартного отклонения

Как пользоваться

Введите данные
Введите необходимые значения в поля ввода.
Настройте параметры
Выберите подходящие опции и настройки.
Посмотрите результат
Нажмите Рассчитать для мгновенного результата.

Что такое стандартное отклонение?

Стандартное отклонение (standard deviation) — это мера разброса, которая одним числом обобщает, насколько далеко значения данных находятся от их среднего. Два набора данных могут иметь одинаковое среднее и при этом вести себя совершенно по-разному с точки зрения стабильности и риска, если их стандартные отклонения различаются.

Почему это важно

Стандартное отклонение раскрывает изменчивость, которую одно лишь среднее не показывает. Малое значение означает, что данные плотно сгруппированы вокруг среднего и хорошо предсказуемы, а большое значение означает, что они широко рассеяны и несут больше неопределённости.

Где применяется

Финансы: стандартное отклонение цен или доходностей измеряет инвестиционный риск (волатильность).
Контроль качества: такие методы, как «Шесть сигм», управляют разбросом процесса для снижения доли брака.
Экзамены и исследования: оценивает однородность распределения оценок и диапазон погрешности экспериментальных измерений.

При нормальном распределении так называемое правило 68-95-99,7 делает интерпретацию интуитивной: около 68% данных попадают в интервал среднее ±1σ, а около 95% — в ±2σ.

Формула

Стандартное отклонение генеральной совокупности равно σ = √(Σ(xᵢ − μ)² / N), а выборочное стандартное отклонение — s = √(Σ(xᵢ − x̄)² / (N − 1)). Здесь xᵢ — каждое значение данных, μ (или x̄) — среднее, а N — количество данных.

Пошаговый пример

Для данных {2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9}:

1. Среднее μ = (2+4+4+4+5+5+7+9) / 8 = 40 / 8 = 5
2. Сумма квадратов отклонений Σ(xᵢ−μ)² = 9+1+1+1+0+0+4+16 = 32
3. Дисперсия совокупности = 32 / 8 = 4 → σ = √4 = 2
4. Выборочная дисперсия = 32 / (8−1) = 4,5714 → s ≈ 2,138

Поскольку выборка делится на N−1, её стандартное отклонение всегда немного больше, чем у генеральной совокупности.

Часто задаваемые вопросы

В чём разница между стандартным отклонением генеральной совокупности и выборочным?

Стандартное отклонение генеральной совокупности охватывает все данные и делится на N, а выборочное стандартное отклонение охватывает подмножество и делится на N-1. N-1 используется для выборок, чтобы оценить дисперсию совокупности без смещения (несмещённая оценка). Для одних и тех же данных выборочное стандартное отклонение всегда немного больше.

Какова связь между дисперсией и стандартным отклонением?

Стандартное отклонение — это квадратный корень из дисперсии. Дисперсия — это среднее квадратов отклонений от среднего, поэтому её единица измерения — квадрат исходных данных (например, рубли²), тогда как стандартное отклонение после извлечения корня возвращается к исходной единице, что делает его интерпретацию более интуитивной.

Что означает большее стандартное отклонение?

Большее стандартное отклонение означает, что данные рассеяны дальше от среднего, то есть выше изменчивость и неопределённость. И наоборот, меньшее значение означает, что данные сгруппированы рядом со средним, они стабильны и предсказуемы.

Что означает стандартное отклонение, равное 0?

Это означает, что все данные имеют одинаковое значение. Поскольку между каждым значением и средним нет никакой разницы, сумма квадратов отклонений равна 0, поэтому и дисперсия, и стандартное отклонение равны 0.

Какой режим выбрать для моих данных?

Если анализируемые данные — это вся группа целиком (например, оценки всех учеников одного класса), выбирайте режим совокупности (N). Если это выборка, извлечённая из более крупной совокупности (например, оценка по 100 опрошенным), выбирайте режим выборки (N-1). Для данных, предназначенных для статистического вывода, обычно подходит выборочный режим.

Почему при единственном значении не выводится выборочное стандартное отклонение?

Выборочное стандартное отклонение делится на N-1, поэтому при единственном значении знаменатель становится равным 0 и оно не определено. В этом случае данный калькулятор безопасно обрабатывает стандартное отклонение как 0 вместо вывода ошибки. Чтобы получить осмысленное выборочное стандартное отклонение, нужно не менее двух значений.

Можно ли вычислять отрицательные данные?

Можно. Стандартное отклонение возводит отклонения от среднего в квадрат, поэтому оно всегда не меньше 0 независимо от знака. Например, стандартное отклонение совокупности для {-2,-1,0,1,2} составляет около 1,414 (√2).

Как интерпретировать распределение данных с помощью стандартного отклонения?

Если данные близки к нормальному распределению, можно применить правило 68-95-99,7. Около 68% значений попадают в интервал среднее ±1σ, около 95% — в ±2σ, а около 99,7% — в ±3σ. Значения, которые значительно выходят за этот диапазон, можно заподозрить как выбросы.

Проверенные формулы 2026