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Che cos'è un numero primo?
Un numero primo (prime number) è un numero naturale maggiore di 1 i cui unici divisori sono 1 e se stesso. I numeri con esattamente due divisori, come 2, 3, 5, 7, 11 e 13, sono primi, mentre 4, 6, 8 e 9, che hanno tre o più divisori, sono classificati come numeri composti.
I primi sono come gli 'atomi della moltiplicazione' con cui si costruisce ogni numero naturale. Secondo il teorema fondamentale dell'aritmetica, ogni numero naturale maggiore di 1 si scompone in un prodotto di primi in un solo modo.
Perché è importante
- Crittografia: la crittografia a chiave pubblica RSA basa la propria sicurezza sulla difficoltà di rifattorizzare il prodotto di due grandi numeri primi.
- Semplificazione delle frazioni: conoscere i fattori primi di numeratore e denominatore permette di ridurre una frazione ai minimi termini con facilità.
- Teoria dei numeri: i primi sono infiniti (dimostrazione di Euclide), eppure la loro distribuzione resta uno dei grandi problemi irrisolti.
Formula di calcolo
Questo verificatore applica la divisione per tentativi (trial division) con l'ottimizzazione 6k±1. Se n è composto, uno dei suoi divisori deve essere al più √n, quindi dopo aver filtrato prima per 2 e 3 controlla solo i e i+2 a partire da 5 finché i*i ≤ n.
Condizioni chiave: n < 2 → non primo, e se n % i === 0 risulta vero anche una sola volta, il numero è composto.
Per esempio, poiché √97 ≈ 9,85, basta provare a dividere 97 per 2, 3, 5 e 7. Nessuno lo divide esattamente, quindi 97 è primo. Al contrario, 91 dà 91 ÷ 7 = 13, perciò 91 = 7 × 13 è composto.
La scomposizione in fattori primi divide via via per i primi più piccoli, raggruppando i fattori ripetuti come potenze. Esempio: 360 = 2³ × 3² × 5.