حاسبة الأعداد الأولية

تحقّق فورًا مما إذا كان العدد أوليًا، واطّلع على تحليله إلى عوامله الأولية، واسرد جميع الأعداد الأولية ضمن مجال تختاره. أداة سريعة لفحص الأعداد الأولية تعتمد على قابلية القسمة.

طريقة الاستخدام

  1. أدخل البيانات

    أدخل القيم المطلوبة في حقول الإدخال.

  2. اضبط الإعدادات

    اختر الخيارات والإعدادات المناسبة.

  3. اعرض النتائج

    انقر احسب للحصول على النتائج فوراً.

ما هو العدد الأولي؟

العدد الأولي (prime number) هو عدد طبيعي أكبر من 1 لا قواسم له سوى 1 ونفسه. الأعداد التي لها قاسمان بالضبط، مثل 2 و3 و5 و7 و11 و13، هي أعداد أولية، بينما تُصنَّف الأعداد 4 و6 و8 و9 التي لها ثلاثة قواسم أو أكثر على أنها أعداد مركَّبة.

الأعداد الأولية أشبه بـ 'ذرات الضرب' التي يُبنى منها كل عدد طبيعي. فبحسب النظرية الأساسية في الحساب، يمكن تحليل كل عدد طبيعي أكبر من 1 إلى جداء أعداد أولية بطريقة وحيدة.

لماذا تُعدّ مهمة

  • علم التعمية: يستمد تشفير المفتاح العام RSA أمانه من صعوبة إعادة تحليل جداء عددين أوليين كبيرين إلى عامليه.
  • اختزال الكسور: معرفة العوامل الأولية للبسط والمقام تتيح اختزال الكسر إلى أبسط صورة بسهولة.
  • نظرية الأعداد: الأعداد الأولية لا نهائية (برهان إقليدس)، لكن توزيعها يبقى من أكبر المسائل التي لم تُحَلّ.

صيغة الحساب

يطبِّق هذا الفاحص القسمة التجريبية (trial division) مع تحسين 6k±1. إذا كان n مركَّبًا فلا بد أن يكون أحد قواسمه أصغر من أو يساوي √n، لذا يَغربل أولًا بالعددين 2 و3، ثم يفحص فقط i وi+2 ابتداءً من 5 طالما i*i ≤ n.

الشرطان الأساسيان: n < 2 → ليس أوليًا، وإذا تحقَّق n % i === 0 ولو مرة واحدة فالعدد مركَّب.

على سبيل المثال، بما أن √97 ≈ 9.85، يكفي قسمة 97 على 2 و3 و5 و7. لا يقبل القسمة على أيٍّ منها، فهو عدد أولي. في المقابل، يعطي 91 الناتج 91 ÷ 7 = 13، أي أن 91 = 7 × 13 عدد مركَّب.

يقوم التحليل إلى عوامل أولية بالقسمة تباعًا على أصغر الأعداد الأولية، مع تجميع العوامل المتكررة في صورة قوى. مثال: 360 = 2³ × 3² × 5.

الأسئلة الشائعة

ما هو العدد الأولي؟
العدد الأولي هو عدد طبيعي أكبر من 1 لا يقبل القسمة إلا على 1 وعلى نفسه. فمثلًا 2 و3 و5 و7 و11 و13 أعداد أولية. العدد 1 ليس أوليًا، و2 هو العدد الأولي الزوجي الوحيد.
هل العدد 1 عدد أولي؟
لا، العدد 1 ليس عددًا أوليًا. يجب أن يكون العدد الأولي عددًا طبيعيًا أكبر من 1 وله قاسمان بالضبط هما 1 ونفسه، لكن للعدد 1 قاسم واحد فقط. واستبعاد 1 من الأعداد الأولية هو ما يجعل التحليل إلى عوامل أولية وحيدًا أيضًا.
كيف يُفحَص ما إذا كان العدد أوليًا؟
أبسط طريقة هي القسمة التجريبية. للتحقق مما إذا كان العدد n أوليًا، تَقسمه على كل عدد صحيح من 2 حتى √n؛ فإذا قَسَمَه أحدها تمامًا فإن n ليس أوليًا. تطبِّق هذه الحاسبة تحسين 6k±1 وتفحص فقط المرشَّحين على جانبي مضاعفات 6 — مثل 5 و7 و11 و13 — فتكون أسرع.
لماذا يكفي الفحص حتى √n فقط؟
إذا كان n مركَّبًا أمكن كتابته على الصورة n = a × b، ولا يمكن أن يكون a وb كلاهما أكبر من √n، وإلا تجاوز a × b العدد n وهو تناقض. إذن لا بد أن يكون أحد القواسم أصغر من أو يساوي √n، ويكفي الفحص حتى هذا الحد.
ما هو التحليل إلى عوامل أولية؟
التحليل إلى عوامل أولية هو التعبير عن عدد طبيعي على صورة جداء أعداد أولية. فمثلًا 12 = 2² × 3 و60 = 2² × 3 × 5. وبحسب النظرية الأساسية في الحساب، لكل عدد طبيعي أكبر من 1 تحليل وحيد إلى عوامل أولية مع تجاهل ترتيب العوامل.
لماذا 2 هو العدد الأولي الزوجي الوحيد؟
كل عدد زوجي عدا 2 يقبل القسمة على 2، فيكتسب — إلى جانب 1 ونفسه — قاسمًا إضافيًا هو 2 فيصبح مركَّبًا. وحده العدد 2 قاسماه 1 و2 فقط، ما يجعله العدد الأولي الزوجي الوحيد.
كيف نجد العدد الأولي السابق والتالي؟
تتقدَّم هذه الحاسبة وتتراجع بمقدار واحد في كل مرة انطلاقًا من القيمة المُدخَلة، وتكرِّر فحص الأولية للعثور على أقرب عدد أولي سابق وتالٍ. فمثلًا عند إدخال 100 تَعرض العدد الأولي السابق 97 والتالي 101.
ما أكبر عدد يمكن فحصه؟
يتعامل هذا الفاحص مع الأعداد الطبيعية حتى نحو مليار (1,000,000,000). ولأن الخوارزمية تفحص نطاق √n فقط، تظهر نتائج الأعداد بهذا الحجم فورًا. أما الأعداد الأكبر بكثير فتُستخدم لها اختبارات أولية احتمالية مثل اختبار ميلر-رابين.
صيغ موثّقة 2026

آلات حاسبة ذات صلة

حاسبة النسبة المئوية3종(of/change/diff)حاسبة العمر만나이/세는나이/띠/D-Dayمولد أرقام عشوائيةcrypto.getRandomValuesحاسبة الكسورa/b +,-,x,/ c/d → 약분