Vérificateur de Nombres Premiers

Vérifiez instantanément si un nombre est premier, affichez sa décomposition en facteurs premiers et listez tous les premiers d'une plage. Un testeur de primalité rapide basé sur la divisibilité.

Mode d'emploi

  1. Entrer un nombre

    Saisissez le nombre entier que vous souhaitez tester.

  2. Lancer le test

    Cliquez sur Calculer pour vérifier si le nombre est premier.

  3. Voir les résultats

    Consultez le résultat, la décomposition en facteurs premiers et les nombres premiers voisins.

Qu'est-ce qu'un nombre premier ?

Un nombre premier (prime number) est un entier naturel supérieur à 1 dont les seuls diviseurs sont 1 et lui-même. Les nombres ayant exactement deux diviseurs, comme 2, 3, 5, 7, 11 et 13, sont premiers, tandis que 4, 6, 8 et 9, qui ont trois diviseurs ou plus, sont classés comme nombres composés.

Les nombres premiers sont comme les « atomes de la multiplication » à partir desquels se construit tout entier naturel. D'après le théorème fondamental de l'arithmétique, tout entier naturel supérieur à 1 se décompose en un produit de nombres premiers d'une seule manière.

Pourquoi c'est important

  • Cryptographie : le chiffrement à clé publique RSA tire sa sécurité de la difficulté de factoriser à nouveau le produit de deux grands nombres premiers.
  • Simplification des fractions : connaître les facteurs premiers du numérateur et du dénominateur permet de réduire facilement une fraction à sa plus simple expression.
  • Théorie des nombres : il existe une infinité de nombres premiers (preuve d'Euclide), mais leur répartition reste l'un des grands problèmes non résolus.

Formule de calcul

Ce vérificateur applique la division d'essai (trial division) avec l'optimisation 6k±1. Si n est composé, l'un de ses diviseurs est nécessairement au plus égal à √n ; après un premier filtrage par 2 et 3, il ne teste donc que i et i+2 à partir de 5 tant que i*i ≤ n.

Conditions clés : n < 2 → pas premier, et dès que n % i === 0 est vrai une seule fois, le nombre est composé.

Par exemple, comme √97 ≈ 9,85, il suffit d'essayer de diviser 97 par 2, 3, 5 et 7. Aucun ne le divise exactement, donc 97 est premier. En revanche, 91 donne 91 ÷ 7 = 13, donc 91 = 7 × 13 est composé.

La décomposition en facteurs premiers divise successivement par les plus petits nombres premiers et regroupe les facteurs répétés sous forme de puissances. Exemple : 360 = 2³ × 3² × 5.

Questions fréquentes

Qu'est-ce qu'un nombre premier ?
Un nombre premier est un entier naturel supérieur à 1 qui n'est divisible que par 1 et par lui-même. Par exemple, 2, 3, 5, 7, 11 et 13 sont premiers. Le nombre 1 n'est pas premier, et 2 est le seul nombre premier pair.
1 est-il un nombre premier ?
Non, 1 n'est pas un nombre premier. Un nombre premier doit être un entier naturel supérieur à 1 ayant exactement deux diviseurs — 1 et lui-même —, mais 1 n'a qu'un seul diviseur. Exclure 1 des nombres premiers est aussi ce qui rend la décomposition en facteurs premiers unique.
Comment teste-t-on si un nombre est premier ?
La méthode la plus simple est la division d'essai. Pour vérifier si un nombre n est premier, on le divise par chaque entier de 2 à √n ; si l'un d'eux le divise exactement, n n'est pas premier. Cette calculatrice applique l'optimisation 6k±1 et ne teste que les candidats de part et d'autre des multiples de 6 — comme 5, 7, 11 et 13 —, ce qui la rend plus rapide.
Pourquoi suffit-il de vérifier seulement jusqu'à √n ?
Si n est composé, il peut s'écrire n = a × b, et a et b ne peuvent pas être tous deux supérieurs à √n, sinon a × b dépasserait n, ce qui est contradictoire. Au moins un diviseur est donc au plus égal à √n, et vérifier seulement jusqu'à cette limite suffit.
Qu'est-ce que la décomposition en facteurs premiers ?
La décomposition en facteurs premiers exprime un entier naturel comme un produit de nombres premiers. Par exemple, 12 = 2² × 3 et 60 = 2² × 3 × 5. D'après le théorème fondamental de l'arithmétique, tout entier naturel supérieur à 1 possède une unique décomposition en facteurs premiers, à l'ordre des facteurs près.
Pourquoi 2 est-il le seul nombre premier pair ?
Tout nombre pair sauf 2 a 2 pour diviseur ; outre 1 et lui-même, il gagne donc le diviseur supplémentaire 2 et devient composé. Seul 2 n'a que les diviseurs 1 et 2, ce qui en fait le seul nombre premier pair.
Comment trouve-t-on le nombre premier précédent et le suivant ?
Cette calculatrice avance et recule d'une unité à la fois à partir de la valeur saisie et répète le test de primalité pour trouver les nombres premiers précédent et suivant les plus proches. Par exemple, si vous saisissez 100, elle affiche le premier précédent 97 et le suivant 101.
Jusqu'à quelle taille de nombre peut-on tester ?
Ce vérificateur gère les entiers naturels jusqu'à environ un milliard (1 000 000 000). Comme l'algorithme ne vérifie que l'intervalle √n, les nombres de cette taille donnent des résultats instantanés. Pour des nombres bien plus grands, on utilise des tests de primalité probabilistes comme Miller-Rabin.
Formules vérifiées 2026

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