使用方法
- 输入数字
输入您要检验的整数。
- 开始检验
点击计算按钮进行质数判定。
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查看判定结果、质因数分解和相邻质数。
什么是素数？
素数（prime number）是只能被 1 和它本身整除、且大于 1 的自然数。像 2、3、5、7、11、13 这样只有两个约数的数是素数，而约数有三个或更多的 4、6、8、9 则归类为合数。
素数就像构成一切自然数的「乘法原子」。根据算术基本定理，每个大于 1 的自然数都能唯一地分解为若干素数的乘积。
为什么重要
- 密码学：RSA 公钥加密的安全性建立在「将两个大素数的乘积重新分解很困难」这一性质之上。
- 约分与分数：知道分子、分母的素因数后，就能轻松将分数化为最简分数。
- 数论研究：素数有无穷多个（欧几里得已证明），但它们的分布至今仍是悬而未决的难题。
计算公式
本判别器在试除法（trial division）的基础上应用了 6k±1 优化。若 n 为合数，则其约数之一必然不超过 √n，因此先用 2 和 3 筛除，再从 5 开始，在 i*i ≤ n 期间只检验 i 和 i+2。
核心条件：n < 2 → 不是素数，并且只要 n % i === 0 有一次成立，该数即为合数。
例如 97，由于 √97 ≈ 9.85，只需用 2、3、5、7 试除即可。97 都无法整除，所以它是素数。相反，91 有 91 ÷ 7 = 13，即 91 = 7 × 13，是合数。
分解质因数时，从最小的素数依次相除，把相同的因数用幂的形式合并表示。例如：360 = 2³ × 3² × 5。
常见问题
什么是素数？
素数（prime number）是只能被 1 和它本身整除、且大于 1 的自然数。例如 2、3、5、7、11、13 都是素数。1 不是素数，而 2 是唯一的偶素数。
1 是素数吗？
不是，1 不是素数。素数必须是大于 1 的自然数，且恰好有两个约数——1 和它本身，但 1 只有一个约数。将 1 排除在素数之外，分解质因数的唯一性才能成立。
如何判断一个数是不是素数？
最基本的方法是试除法。要判断某个数 n 是否为素数，就用 2 到 √n 之间的每个整数去除它，只要有一个能整除，n 就不是素数。本计算器应用 6k±1 优化，只检验 6 的倍数两侧的候选数，如 5、7、11、13，因此速度更快。
为什么只需检验到 √n 即可？
若 n 为合数，可写成 n = a × b，而 a 和 b 不可能都大于 √n，否则 a × b 会超过 n，产生矛盾。因此约数中必有一个不超过 √n，只检验到这个范围就足够了。
什么是分解质因数？
分解质因数就是把自然数表示为若干素数的乘积。例如 12 = 2² × 3，60 = 2² × 3 × 5。根据算术基本定理，每个大于 1 的自然数若不计因数顺序，都只有唯一一种质因数分解。
为什么 2 是唯一的偶素数？
除 2 以外的所有偶数都以 2 为约数，因此除了 1 和它本身之外又多出 2 这个约数，从而成为合数。只有 2 的约数仅为 1 和 2，所以它是偶数中唯一的素数。
如何查找上一个素数和下一个素数？
本计算器从输入值开始，分别向上、向下逐一移动并反复进行素数判别，从而找到最接近的上一个素数和下一个素数。例如输入 100，会显示上一个素数 97 和下一个素数 101。
最大能判别多大的数？
本判别器可处理约十亿（1,000,000,000）以内的自然数。由于算法只检验 √n 范围，因此这种大小的数能立即得出结果。对于远大于此的数，则使用米勒-拉宾等概率性素数判定法。
2026年验证公式