Primzahlenrechner

Prüfen Sie sofort, ob eine Zahl prim ist, sehen Sie die vollständige Primfaktorzerlegung und listen Sie alle Primzahlen in einem Bereich auf – ein schneller Online-Primzahlrechner.

Anleitung

  1. Zahl eingeben

    Geben Sie eine Zahl ein, die auf Primalität geprüft werden soll.

  2. Oder Bereich angeben

    Geben Sie einen Bereich ein, um alle Primzahlen darin zu finden.

  3. Ergebnis ablesen

    Sehen Sie, ob die Zahl prim ist, und die Primfaktorzerlegung.

Was ist eine Primzahl?

Eine Primzahl (prime number) ist eine natürliche Zahl größer als 1, deren einzige Teiler 1 und sie selbst sind. Zahlen mit genau zwei Teilern wie 2, 3, 5, 7, 11 und 13 sind Primzahlen, während 4, 6, 8 und 9 mit drei oder mehr Teilern als zusammengesetzte Zahlen gelten.

Primzahlen sind wie die 'Atome der Multiplikation', aus denen jede natürliche Zahl aufgebaut ist. Nach dem Fundamentalsatz der Arithmetik lässt sich jede natürliche Zahl größer als 1 auf genau eine Weise in ein Produkt von Primzahlen zerlegen.

Warum es wichtig ist

  • Kryptografie: Die RSA-Verschlüsselung mit öffentlichem Schlüssel verdankt ihre Sicherheit der Schwierigkeit, das Produkt zweier großer Primzahlen wieder zu faktorisieren.
  • Kürzen von Brüchen: Kennt man die Primfaktoren von Zähler und Nenner, lässt sich ein Bruch mühelos vollständig kürzen.
  • Zahlentheorie: Es gibt unendlich viele Primzahlen (Euklids Beweis), doch ihre Verteilung bleibt eines der großen ungelösten Probleme.

Berechnungsformel

Dieser Rechner wendet die Probedivision (trial division) mit der 6k±1-Optimierung an. Ist n zusammengesetzt, muss einer seiner Teiler höchstens √n betragen; daher wird zuerst durch 2 und 3 gesiebt und anschließend ab 5 nur i und i+2 geprüft, solange i*i ≤ n.

Zentrale Bedingungen: n < 2 → keine Primzahl, und sobald n % i === 0 auch nur einmal zutrifft, ist die Zahl zusammengesetzt.

Da √97 ≈ 9,85 ist, muss man 97 beispielsweise nur durch 2, 3, 5 und 7 teilen. Keine davon teilt sie glatt, also ist 97 prim. Dagegen ergibt 91 die Rechnung 91 ÷ 7 = 13, somit ist 91 = 7 × 13 zusammengesetzt.

Bei der Primfaktorzerlegung wird der Reihe nach durch die kleinsten Primzahlen geteilt und gleiche Faktoren als Potenzen zusammengefasst. Beispiel: 360 = 2³ × 3² × 5.

Häufig gestellte Fragen

Was ist eine Primzahl?
Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl größer als 1, die nur durch 1 und sich selbst teilbar ist. Zum Beispiel sind 2, 3, 5, 7, 11 und 13 Primzahlen. Die Zahl 1 ist keine Primzahl, und 2 ist die einzige gerade Primzahl.
Ist 1 eine Primzahl?
Nein, 1 ist keine Primzahl. Eine Primzahl muss eine natürliche Zahl größer als 1 mit genau zwei Teilern sein – 1 und sich selbst –, doch 1 hat nur einen einzigen Teiler. Der Ausschluss der 1 sorgt auch dafür, dass die Primfaktorzerlegung eindeutig bleibt.
Wie prüft man, ob eine Zahl prim ist?
Die einfachste Methode ist die Probedivision. Um zu prüfen, ob eine Zahl n prim ist, teilt man sie durch jede ganze Zahl von 2 bis √n; teilt eine davon glatt, ist n nicht prim. Dieser Rechner nutzt die 6k±1-Optimierung und prüft nur die Kandidaten neben den Vielfachen von 6 – etwa 5, 7, 11 und 13 –, wodurch er schneller arbeitet.
Warum genügt es, nur bis √n zu prüfen?
Ist n zusammengesetzt, lässt es sich als n = a × b schreiben, wobei a und b nicht beide größer als √n sein können – sonst würde a × b die Zahl n übersteigen, ein Widerspruch. Daher ist mindestens ein Teiler höchstens √n groß, und eine Prüfung bis zu dieser Grenze reicht aus.
Was ist die Primfaktorzerlegung?
Die Primfaktorzerlegung stellt eine natürliche Zahl als Produkt von Primzahlen dar. Zum Beispiel ist 12 = 2² × 3 und 60 = 2² × 3 × 5. Nach dem Fundamentalsatz der Arithmetik hat jede natürliche Zahl größer als 1 genau eine Primfaktorzerlegung, wenn man die Reihenfolge der Faktoren außer Acht lässt.
Warum ist 2 die einzige gerade Primzahl?
Jede gerade Zahl außer 2 hat 2 als Teiler, sodass sie neben 1 und sich selbst den zusätzlichen Teiler 2 erhält und damit zusammengesetzt wird. Nur 2 hat ausschließlich die Teiler 1 und 2 und ist damit die einzige gerade Primzahl.
Wie findet man die vorherige und die nächste Primzahl?
Dieser Rechner geht vom Eingabewert aus jeweils um eins nach oben und unten und wiederholt die Primzahlprüfung, um die nächstgelegene vorherige und nächste Primzahl zu finden. Gibt man zum Beispiel 100 ein, werden die vorherige Primzahl 97 und die nächste Primzahl 101 angezeigt.
Wie große Zahlen lassen sich prüfen?
Dieser Rechner verarbeitet natürliche Zahlen bis etwa eine Milliarde (1.000.000.000). Da der Algorithmus nur den Bereich √n prüft, liefern Zahlen dieser Größe sofort ein Ergebnis. Für deutlich größere Zahlen kommen probabilistische Primzahltests wie Miller-Rabin zum Einsatz.
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