अभाज्य संख्या कैलकुलेटर

अभाज्य संख्या (prime number) 1 से बड़ी ऐसी प्राकृतिक संख्या है जिसके भाजक केवल 1 और स्वयं वही संख्या होते हैं। 2, 3, 5, 7, 11 और 13 जैसी ठीक दो भाजक वाली संख्याएँ अभाज्य होती हैं, जबकि तीन या उससे अधिक भाजक वाली 4, 6, 8 और 9 को भाज्य संख्या कहा जाता है।

अभाज्य संख्याएँ हर प्राकृतिक संख्या को रचने वाले 'गुणन के परमाणु' जैसी हैं। अंकगणित के मूल प्रमेय के अनुसार, 1 से बड़ी हर प्राकृतिक संख्या को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में केवल एक ही तरीके से विभाजित किया जा सकता है।

यह क्यों महत्वपूर्ण है

• क्रिप्टोग्राफी: RSA सार्वजनिक-कुंजी एन्क्रिप्शन की सुरक्षा इस गुण पर टिकी है कि दो बड़ी अभाज्य संख्याओं के गुणनफल को फिर से गुणनखंडित करना कठिन होता है।
• भिन्नों का सरलीकरण: अंश और हर के अभाज्य गुणनखंड जानने पर भिन्न को आसानी से उसके सरलतम रूप में लाया जा सकता है।
• संख्या सिद्धांत: अभाज्य संख्याएँ अनंत हैं (यूक्लिड का प्रमाण), फिर भी उनका वितरण आज भी एक अनसुलझी पहेली बना हुआ है।

यह परीक्षक विभाजन परीक्षण (trial division) पर 6k±1 अनुकूलन लागू करता है। यदि n भाज्य है तो उसका कोई एक भाजक अवश्य ही √n से कम या बराबर होगा, इसलिए पहले 2 और 3 से छानने के बाद यह 5 से शुरू करके i*i ≤ n रहने तक केवल i और i+2 की जाँच करता है।

मुख्य शर्तें: n < 2 → अभाज्य नहीं, और यदि n % i === 0 एक बार भी सत्य हो जाए तो संख्या भाज्य है।

उदाहरण के लिए, चूँकि √97 ≈ 9.85 है, इसलिए 97 को केवल 2, 3, 5 और 7 से भाग देकर देखना पर्याप्त है। इनमें से कोई भी इसे पूरा-पूरा विभाजित नहीं करता, अतः 97 अभाज्य है। इसके विपरीत 91 के लिए 91 ÷ 7 = 13 होता है, यानी 91 = 7 × 13 एक भाज्य संख्या है।

अभाज्य गुणनखंडन में सबसे छोटी अभाज्य संख्याओं से क्रमशः भाग देकर समान गुणनखंडों को घातों के रूप में समूहित किया जाता है। उदाहरण: 360 = 2³ × 3² × 5।